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數學分析(上冊) 版權信息
- ISBN：9787030733580
- 條形碼：9787030733580 ; 978-7-03-073358-0
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
數學分析(上冊) 本書特色
本書保留了經典的數學分析課程的基本內容， 注重基本概念、基本理論與基本訓練.
數學分析(上冊) 內容簡介
本書為首批重量一流本科課程數學分析的配套教材.全書分上、下兩冊.上冊共8章，包括集合與函數、數列極限、函數極限與連續(xù)函數、導數與微分、微分中值定理及應用、不定積分、定積分、反常積分，主要講述一元函數微積分的內容.本書每節(jié)選用了適量有代表性和啟發(fā)性的例題，還配有足夠數量的習題，其中既有一般難度的題目，也有較難的題目，供讀者酌情選做.書末附有部分習題答案與提示，供讀者參考.
數學分析(上冊) 目錄
目錄
前言
第1章 集合與函數 1
1.1 集合 1
1.1.1 集合的概念 1
1.1.2 包含關系 2
1.1.3 集合的運算 2
1.1.4 有限集與無限集 3
1.1.5 集合的笛卡兒乘積 5
1.2 實數 5
1.2.1 實數的無限小數表示與順序 6
1.2.2 實數系的連續(xù)性 9
1.3 函數 14
1.3.1 函數的概念 14
1.3.2 初等函數 15
1.3.3 函數的分段表示、隱式表示以及參數表示 17
1.3.4 函數的簡單特性 20
1.3.5 由已知函數構造新函數的方法 21
1.3.6 幾個常用不等式 24
第2章 數列極限 28
2.1 數列極限的概念與性質 28
2.1.1 數列極限的定義 28
2.1.2 數列極限的性質 36
2.2 無窮大量 44
2.2.1 無窮大量的概念 44
2.2.2 無窮大量的性質和運算 45
2.2.3 Stolz定理 47
2.3 單調收斂原理及應用 53
2.3.1 單調收斂原理 53
2.3.2 無理數e和歐拉常數c 55
2.4 實數系基本定理 60
2.4.1 閉區(qū)間套定理 60
2.4.2 有限覆蓋定理 61
2.4.3 致密性定理 63
2.4.4 柯西收斂原理 65
2.4.5 實數系基本定理的等價性 69
2.5 數列的上極限與下極限 71
2.5.1 上極限與下極限的概念與性質 71
2.5.2 上極限與下極限的運算 75
2.5.3 上極限和下極限的等價定義 79
第3章 函數極限與連續(xù)函數 83
3.1 函數極限 83
3.1.1 函數極限的定義 83
3.1.2 函數極限的性質 86
3.1.3 函數極限概念的推廣 90
3.1.4 函數極限與數列極限的關系 97
3.1.5 函數極限的柯西收斂原理 100
3.2 函數的連續(xù)性與間斷點 104
3.2.1 函數的連續(xù)與間斷 104
3.2.2 間斷點的類型 106
3.2.3 函數連續(xù)的性質和運算 109
3.2.4 初等函數的連續(xù)性 112
3.3 閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質 114
3.3.1 有界性定理 114
3.3.2 零點存在定理 115
3.3.3 *值定理 116
3.3.4 介值定理 117
3.3.5 一致連續(xù) 118
3.4 無窮小量與無窮大量的比較 123
3.4.1 無窮小量的比較 123
3.4.2 無窮大量的比較 125
第4章 導數與微分 129
4.1 導數 129
4.1.1 引例 129
4.1.2 導數概念 130
4.1.3 導數的幾何意義 134
4.1.4 可導與連續(xù)的關系 134
4.2 求導數的方法 136
4.2.1 導數的四則運算法則 137
4.2.2 反函數的求導法 139
4.2.3 復合函數的求導法 140
4.2.4 隱函數的求導法 144
4.2.5 由參數方程所表示函數的求導法 146
4.3 微分 149
4.3.1 微分的概念 149
4.3.2 微分的幾何意義 151
4.3.3 微分的運算法則和基本微分公式 152
4.3.4 一階微分的形式不變性 153
4.3.5 微分在近似計算中的應用 155
4.4 高階導數與高階微分 157
4.4.1 高階導數 157
4.4.2 高階微分 165
第5章 微分中值定理及應用 169
5.1 微分中值定理 169
5.1.1 費馬定理 169
5.1.2 羅爾定理 170
5.1.3 拉格朗日中值定理 172
5.1.4 柯西中值定理 176
5.2 洛必達法則 180
5.2.1 *及*待定型 180
5.2.2 其他待定型 185
5.3 泰勒公式及應用 190
5.3.1 帶佩亞諾余項的泰勒公式 191
5.3.2 帶拉格朗日余項的泰勒公式 197
5.3.3 泰勒公式的應用 199
5.4 導數的應用 206
5.4.1 函數的單調性 206
5.4.2 函數的極值 208
5.4.3 函數的*值 210
5.4.4 函數的凸性與拐點 212
5.4.5 漸近線 217
5.4.6 函數作圖 219
第6章 不定積分 225
6.1 原函數與不定積分 225
6.1.1 原函數與不定積分的概念 225
6.1.2 基本積分表 227
6.1.3 不定積分的基本性質 228
6.2 換元積分法 231
6.2.1 **類換元法 231
6.2.2 第二類換元法 236
6.3 分部積分法 240
6.4 有理函數的不定積分及應用 248
6.4.1 有理函數的不定積分 248
6.4.2 可化為有理函數的不定積分 255
第7章 定積分 262
7.1 定積分的概念 262
7.1.1 引例 262
7.1.2 定積分的定義 265
7.1.3 定積分的幾何意義 267
7.2 可積性問題 269
7.2.1 可積的必要條件 269
7.2.2 達布和 270
7.2.3 可積準則 274
7.2.4 可積函數類 277
7.2.5 再論可積性準則 281
7.3 定積分的性質 283
7.4 微積分基本定理 294
7.4.1 變速直線運動位置函數與速度之間的聯系 294
7.4.2 變限定積分 295
7.4.3 微積分基本定理 298
7.5 定積分的換元法和分部積分法 305
7.5.1 定積分的換元法 305
7.5.2 定積分的分部積分法 313
7.6 定積分在幾何學中的應用 319
7.6.1 微元法 319
7.6.2 平面圖形的面積 320
7.6.3 平行截面面積已知的立體的體積 326
7.6.4 平面曲線的弧長 329
7.6.5 旋轉曲面的面積 332
7.7 定積分在物理學中的應用 335
7.7.1 平面曲線弧與平面圖形的質心 336
7.7.2 轉動慣量 340
7.7.3 變力沿直線所做的功 343
7.8 定積分的近似計算 344
7.8.1 梯形公式 344
7.8.2 拋物線公式 347
第8章 反常積分 351
8.1 無窮積分的概念和性質 351
8.1.1 無窮積分的概念 351
8.1.2 無窮積分的性質 353
8.1.3 無窮積分的計算 356
8.2 無窮積分的斂散性判別法 362
8.2.1 非負函數無窮積分的斂散性判別法 362
8.2.2 任意函數無窮積分的斂散性判別法 367
8.3 瑕積分 377
8.3.1 瑕積分的概念 377
8.3.2 瑕積分的斂散性判別法 380
8.3.3 瑕積分的計算 385
部分習題答案與提示 389
前言
第1章 集合與函數 1
1.1 集合 1
1.1.1 集合的概念 1
1.1.2 包含關系 2
1.1.3 集合的運算 2
1.1.4 有限集與無限集 3
1.1.5 集合的笛卡兒乘積 5
1.2 實數 5
1.2.1 實數的無限小數表示與順序 6
1.2.2 實數系的連續(xù)性 9
1.3 函數 14
1.3.1 函數的概念 14
1.3.2 初等函數 15
1.3.3 函數的分段表示、隱式表示以及參數表示 17
1.3.4 函數的簡單特性 20
1.3.5 由已知函數構造新函數的方法 21
1.3.6 幾個常用不等式 24
第2章 數列極限 28
2.1 數列極限的概念與性質 28
2.1.1 數列極限的定義 28
2.1.2 數列極限的性質 36
2.2 無窮大量 44
2.2.1 無窮大量的概念 44
2.2.2 無窮大量的性質和運算 45
2.2.3 Stolz定理 47
2.3 單調收斂原理及應用 53
2.3.1 單調收斂原理 53
2.3.2 無理數e和歐拉常數c 55
2.4 實數系基本定理 60
2.4.1 閉區(qū)間套定理 60
2.4.2 有限覆蓋定理 61
2.4.3 致密性定理 63
2.4.4 柯西收斂原理 65
2.4.5 實數系基本定理的等價性 69
2.5 數列的上極限與下極限 71
2.5.1 上極限與下極限的概念與性質 71
2.5.2 上極限與下極限的運算 75
2.5.3 上極限和下極限的等價定義 79
第3章 函數極限與連續(xù)函數 83
3.1 函數極限 83
3.1.1 函數極限的定義 83
3.1.2 函數極限的性質 86
3.1.3 函數極限概念的推廣 90
3.1.4 函數極限與數列極限的關系 97
3.1.5 函數極限的柯西收斂原理 100
3.2 函數的連續(xù)性與間斷點 104
3.2.1 函數的連續(xù)與間斷 104
3.2.2 間斷點的類型 106
3.2.3 函數連續(xù)的性質和運算 109
3.2.4 初等函數的連續(xù)性 112
3.3 閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質 114
3.3.1 有界性定理 114
3.3.2 零點存在定理 115
3.3.3 *值定理 116
3.3.4 介值定理 117
3.3.5 一致連續(xù) 118
3.4 無窮小量與無窮大量的比較 123
3.4.1 無窮小量的比較 123
3.4.2 無窮大量的比較 125
第4章 導數與微分 129
4.1 導數 129
4.1.1 引例 129
4.1.2 導數概念 130
4.1.3 導數的幾何意義 134
4.1.4 可導與連續(xù)的關系 134
4.2 求導數的方法 136
4.2.1 導數的四則運算法則 137
4.2.2 反函數的求導法 139
4.2.3 復合函數的求導法 140
4.2.4 隱函數的求導法 144
4.2.5 由參數方程所表示函數的求導法 146
4.3 微分 149
4.3.1 微分的概念 149
4.3.2 微分的幾何意義 151
4.3.3 微分的運算法則和基本微分公式 152
4.3.4 一階微分的形式不變性 153
4.3.5 微分在近似計算中的應用 155
4.4 高階導數與高階微分 157
4.4.1 高階導數 157
4.4.2 高階微分 165
第5章 微分中值定理及應用 169
5.1 微分中值定理 169
5.1.1 費馬定理 169
5.1.2 羅爾定理 170
5.1.3 拉格朗日中值定理 172
5.1.4 柯西中值定理 176
5.2 洛必達法則 180
5.2.1 *及*待定型 180
5.2.2 其他待定型 185
5.3 泰勒公式及應用 190
5.3.1 帶佩亞諾余項的泰勒公式 191
5.3.2 帶拉格朗日余項的泰勒公式 197
5.3.3 泰勒公式的應用 199
5.4 導數的應用 206
5.4.1 函數的單調性 206
5.4.2 函數的極值 208
5.4.3 函數的*值 210
5.4.4 函數的凸性與拐點 212
5.4.5 漸近線 217
5.4.6 函數作圖 219
第6章 不定積分 225
6.1 原函數與不定積分 225
6.1.1 原函數與不定積分的概念 225
6.1.2 基本積分表 227
6.1.3 不定積分的基本性質 228
6.2 換元積分法 231
6.2.1 **類換元法 231
6.2.2 第二類換元法 236
6.3 分部積分法 240
6.4 有理函數的不定積分及應用 248
6.4.1 有理函數的不定積分 248
6.4.2 可化為有理函數的不定積分 255
第7章 定積分 262
7.1 定積分的概念 262
7.1.1 引例 262
7.1.2 定積分的定義 265
7.1.3 定積分的幾何意義 267
7.2 可積性問題 269
7.2.1 可積的必要條件 269
7.2.2 達布和 270
7.2.3 可積準則 274
7.2.4 可積函數類 277
7.2.5 再論可積性準則 281
7.3 定積分的性質 283
7.4 微積分基本定理 294
7.4.1 變速直線運動位置函數與速度之間的聯系 294
7.4.2 變限定積分 295
7.4.3 微積分基本定理 298
7.5 定積分的換元法和分部積分法 305
7.5.1 定積分的換元法 305
7.5.2 定積分的分部積分法 313
7.6 定積分在幾何學中的應用 319
7.6.1 微元法 319
7.6.2 平面圖形的面積 320
7.6.3 平行截面面積已知的立體的體積 326
7.6.4 平面曲線的弧長 329
7.6.5 旋轉曲面的面積 332
7.7 定積分在物理學中的應用 335
7.7.1 平面曲線弧與平面圖形的質心 336
7.7.2 轉動慣量 340
7.7.3 變力沿直線所做的功 343
7.8 定積分的近似計算 344
7.8.1 梯形公式 344
7.8.2 拋物線公式 347
第8章 反常積分 351
8.1 無窮積分的概念和性質 351
8.1.1 無窮積分的概念 351
8.1.2 無窮積分的性質 353
8.1.3 無窮積分的計算 356
8.2 無窮積分的斂散性判別法 362
8.2.1 非負函數無窮積分的斂散性判別法 362
8.2.2 任意函數無窮積分的斂散性判別法 367
8.3 瑕積分 377
8.3.1 瑕積分的概念 377
8.3.2 瑕積分的斂散性判別法 380
8.3.3 瑕積分的計算 385
部分習題答案與提示 389
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數學分析(上冊) 節(jié)選
第1章集合與函數 數學分析的主要內容是微積分，它的研究對象是實函數.本章主要介紹集合的基本概念及運算、實數系的連續(xù)性與函數的表示方法、運算及函數的簡單性質.本章的難點是實數系的連續(xù)性，希望讀者能理解其本質特征及描述方法. 1.1集合 集合論的基礎是由德國數學家康托爾（Cantor）奠定的，后經過許多卓越的數學家近半個世紀的努力，確立了其在現代數學理論體系中的基礎地位.從19世紀末到20世紀初，集合論語言成為*通用的數學語言，有學者甚至把“數學就是研究集合上各種結構（關系）的學科”作為數學的定義.本節(jié)主要介紹集合的基本概念與運算. 1.1.1集合的概念 所謂集合（簡稱集），是指具有某種特定性質的對象匯集成的總體，這些對象稱為該集合的元素.集合通常用大寫字母等表示，元素通常用小寫字母a，b，c，x，y等表示. 若x是集合X的元素，則稱a;屬于X，記為:ceX.若y不是集合X的元素，則稱y不屬于X，記為y朱X. 習慣上，我們通常用N+，Z，Q，R分別表示正整數集、整數集、有理數集、實數集. 集合的表示方式通常有兩種.一種是列舉法，它是將集合中的元素全部列出，例如，由三個元素a，b，c組成的集合可以表示為A={a，b，c}，正整數集N+可以表示為N+={1，2，3， ，n， }，整數集Z可以表不為Z={0，±1，±2，±3， ，另一種是描述法.若集合A是由具有性質P的元素的全體所構成的，則A可表示為A={x|x具有性質P}.例如由5的平方根組成的集合可表示為A={x|x2=5}，有理數集可表示為 有一類特殊的集合，它不包含任何元素，如，稱之為空集，記為. 在本課程的學習中，經常會遇到以下形式的實數集R的子集:閉區(qū)間 開區(qū)間 左閉右開區(qū)間 左開右閉區(qū)間 1.1.2包含關系 若集合4的所有元素都屬于集合B，則稱B包含A，記為ACS，此時也稱A是B的子集.若集合A與集合B的元素完全相同，則稱集合A與集合B相等，記為A=B 若且則稱A是B的真子集. 為了敘述方便，本書引入兩個常用記號V和3:V表示“任意一個”；表示“存在 利用上述記號，我們可以將Acs的定義表述為： 1.1.3集合的運算 給定集合A和B，定義如下運算（圖1.1.1）: 設集合4是集合X的一個子集，稱X\A為A關于集合X的補集，記為Ac. 容易驗證，集合的運算具有下列性質： (1）交換律 (2）結合律 (3）分配律 (4）對偶律（DeMorgan公式） 1.1.4有限集與無限集 若集合A只有有限個元素，則稱集合A為有限集，不是有限集的集合稱為無限集. {a，b，c}，{x|x2=1}都是有限集.Z，Q，R都是無限集. 如果一個無限集中的元素可以按某種規(guī)律排成一列，或者說可表示為 則稱該集合為可列集，例如整數集Z是可列集. 無限集不一定是可列集（后面我們將證明實數集R是不可列的），但每個無限集一定包含可列子集. 注要證明一個無限集是可列集，關鍵是構造出一種排列規(guī)則，使得按此規(guī)則，集合的所有元素可以無重復也無遺漏地排成一列. 例1.1.1整數集Z是可列集. 證明因為整數集z可以按規(guī)則 排成一列，根據可列集的定義，整數集Z是可列集. 設A是可列集，n=1，2，3， ，定義它們的并為 定理1.1.1可列個可列集之并也是可列集. 證明對每個正整數n，設是可列集，不妨設可表示為 則的所有元素可排列成下面無窮矩陣的形式： 下面，我們采用對角線法則，將上面的所有元素無重復也無遺漏地排成一列，具體排法如下：從左上角開始，依次按照每條“對角線”（如圖中箭頭所示），將元素從左下至右上的次序排列為 上面的對角線排列，可以保證矩陣中的每個元素不會遺漏. 注意到兩個不同的集合Afc與為（fc#I），它們的交集可能非空，這樣可能會導致有些元素在對角線排列中多次出現.如果我們只保留**次出現的數，而把后面重復出現的數去掉，那么這樣形成的排列就會無重復也無遺漏地表示了集合，從而證明了為可列集. 證畢 例1.1.2有理數集Q是可列集. 證明由于（-oo，+oo）可以表示為可列個區(qū)間的并，令求表示中有理數的全體，要證每個是可列集，我們只需證明:區(qū)間（0，1]中的全體有理數是可列集. 由于中的元素可唯一地表示為既約分數，其中且互質.我們將中的元素排列如下： 分母p=1的既約分數只有一個，記為a11=1； 分母p=2的既約分數只有一個，記為 分母p=3的既約分數只有兩個，記為 一般地，分母p=n的既約分數不超過n個，將它們記為，其中為正整數.從而區(qū)間中的有理數可按如下方式排成一列： 根據可列集的定義，A0為可列集，從而為可列集.由定理1.1.1知，有理數集Q為可列集. 1.1.5集合的笛卡兒乘積 設是任意兩個集合.任取，組成一個有序對(x，y）.把這樣的有序對作為新的元素，它們全體組成的集合稱為集合A與集合B的笛卡兒(Descartes）乘積或直積，記為A×B即 當集合A與集合B都是實數集R時，RxR(記作R2）表示平面直角坐標系下用坐標表示的點的集合. 類似地，我們可以定義多個集合的笛卡兒乘積或直積. R×R×R(記作R3）表示空間直角坐標系下用坐標表示的點的集合. 習題1.1 1.證明： 2.證明： 3.設 4.設 1.2實數 微積分是17世紀下半葉由牛頓（Newton）和萊布尼茨（Leibniz）創(chuàng)立的，其主要研究對象是實函數，即自變量為實數且在實數中取值的函數.微積分的誕生，解決了許多過去被認為是高不可攀的難題.但是在很長一段時間，微積分一直未能為自己的方法提供邏輯上嚴密的、無懈可擊的理論說明，這也引起了人們長達一個多世紀的爭論.直到19世紀初，柯西（Cauchy）才以極限理論為微積分奠定了堅實的基礎.又過了半個世紀以后，康托爾（Cantor）和戴德金（Dedekind）通過仔細研究發(fā)現，極限理論的某些基本原理，實際上依賴于實數系的一個重要性質——連續(xù)性. 1.2.1實數的無限小數表示與順序 1.數系的發(fā)展歷史 若一個集合中的任意兩個元素進行某種運算后，所得的結果仍屬于這個集合，則稱該集合對這種運算是封閉的.人類認識的**個數系是自然數系其基本特征是“可數的”或“離散的雖然它對于計數來說是夠用了，但是它不是一個完善的數系.一方面，作為量的描述手段，它只能表示一個單位量的整數倍，而無法表示此單位量的部分，由此可見自然數系不足以度量物體的長短，這是因為長短是連續(xù)變化的，這種“連續(xù)”變化的量自然不能完全通過上述“可數的”或“離散的”量來表示.另一方面，雖然自然數系N對于加法與乘法運算是封閉的，但對于減法運算不封閉.為保證自然數系N對減法運算封閉，人們引進了負數，把自然數系擴充成整數系Z.盡管整數系Z對加法、減法與乘法運算封閉，但它對于除法運算不封閉，于是人們又把整數系Z擴充為有理數系 有理數系Q的一個重要性質就是稠密性，即對任意有理數與，必存在有理數c，使得.這個結果是明顯的，事實上，令則為有理數且.由此可以推出，任意兩個不同的有理數之間，總有無窮多個有理數存在。 在建立了數軸后，整數系Z的每一個元素，都能在數軸上找到與之對應的點，這些點稱為整數點.每一個有理數x二也能在數軸上找到自己相對應的點，這些點稱為有理點.以上討論表明：有理點是密密麻麻分布在數軸上，我們形象地稱有理數系具有稠密性. 但有理數系Q仍然不是一個完善的數系.例如，若用c表示兩條直角邊均為1的直角三角形的斜邊的長度，則就無法用有理數來表示.事實上，假若為有理數，不妨設力=\其中且，互質，則.所以必為偶數，從而q也為偶數，不妨設，于是，由此得到也為偶數，這與，互質相矛盾，所以C二不是有理數.由此可見，雖然有理
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